TEOREMAS DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos
célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel
en 1931.
Ambos están relacionados con la existencia de proposiciones
indecidibles en ciertas teorías aritméticas.
El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo
ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con
suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los
axiomas
de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no
pueden probarse ni refutarse (usando sólo las reglas de deducción de dicha
teoría). Las teorías aritméticas para las que el teorema es válido son
básicamente aquellas en las que la deducción de teoremas puede realizarse
mediante un algoritmo
(y por tanto el conjunto de axiomas sea recursivamente enumerable).
La prueba del teorema es totalmente explícita: en ella se
construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para
la que dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y
viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en
términos de números naturales es verdadera.
El segundo teorema de incompletitud es un caso particular
del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es
aquella que "afirma" la consistencia de la misma. Es decir, que si el
sistema en cuestión es consistente, no es posible probarlo dentro del propio
sistema.
Los teoremas de incompletitud de Gödel son uno de los
grandes avances de la lógica matemática, y supusieron —según la mayoría de la
comunidad matemática— una respuesta negativa al segundo problema de Hilbert.
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